前兩篇筆者分別為大家介紹了AI產(chǎn)品經(jīng)理需要了解的概率論通識(shí)和線性代數(shù)通識(shí)，本篇文章中，筆者將繼續(xù)為你介紹AI產(chǎn)品經(jīng)理需要了解的微積分通識(shí)，供大家一參考學(xué)習(xí)。

1665年，牛頓從劍橋大學(xué)畢業(yè)了，英國(guó)爆發(fā)瘟疫，學(xué)校關(guān)閉，牛頓回到家鄉(xiāng)躲避瘟疫，在家鄉(xiāng)牛頓被蘋果砸了一下，發(fā)明了流數(shù)法、發(fā)現(xiàn)了色散，并提出了萬有引力定律。

牛頓當(dāng)時(shí)提出的流數(shù)法，就是我們所說的微積分。但是牛頓當(dāng)時(shí)并沒有把它看得太重，只是把它作為數(shù)學(xué)工具，是自己研究物理問題時(shí)的副產(chǎn)品，也沒有把這種方法公之于眾。

十年之后，萊布尼茨了解到牛頓的數(shù)學(xué)工作并在1684年，連續(xù)發(fā)表了兩篇論文，正式提出了微積分的思想，牛頓得知后通過英國(guó)皇家科學(xué)院公開指責(zé)萊布尼茨，沒有提及自己，于是之后在談到微積分公式，我們稱之為“牛頓-萊布尼茨公式”。

一、什么是微積分

圓的面積公式是什么？

其中S是圓的面積，π是圓周率，R是圓的半徑。那么這個(gè)公式是怎么得到的？

首先，我們畫一個(gè)圓，這個(gè)圓的半徑為R，周長(zhǎng)為C。我們知道，圓的周長(zhǎng)與直徑的比定義為圓周率，因此：

我們把圓分割成許多個(gè)小扇形，再然后，我們把這些扇形拼在一起，這樣就形成了一個(gè)接近于長(zhǎng)方形的圖形。如下圖：

可以想象，如果圓分割的越細(xì)，拼好的圖形就越接近長(zhǎng)方形。如果圓分割成無限多份，那么拼起來就是一個(gè)嚴(yán)格的長(zhǎng)方形了。

而且，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積與圓的面積是相等的。

我們要求圓的面積，只需要求出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就可以了。這個(gè)長(zhǎng)方形的寬就是圓的半徑R，而長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半。

根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式“長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)乘寬”，我們得到圓的面積公式：

其實(shí)，這個(gè)推導(dǎo)過程很簡(jiǎn)單，那就是先無限分割，再把這無限多份求和。分割就是微分，求和就是積分，這就是微積分的基本思想。

1. 微分

由函數(shù)B=f（A），得到A、B兩個(gè)數(shù)集，在A中當(dāng)dx靠近自己時(shí)，函數(shù)在dx處的極限叫作函數(shù)在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。

微分是函數(shù)改變量的線性主要部分，微積分的基本概念之一。

2. 積分

對(duì)于一個(gè)給定的正實(shí)值函數(shù)，在一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間上的定積分可以理解為在坐標(biāo)平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實(shí)數(shù)值）。

二、微積分的應(yīng)用

1. 王元買瓜

不知道大家聽沒聽說過王元買瓜的故事：

魏歪脖的西瓜賣得好，不稱重，分大瓜小瓜賣，大瓜3塊一個(gè)，小瓜1塊一個(gè)?？吹酱蠊闲」铣叽绮顒e不是很大，所以很多人買小瓜。

王先生和王太太過來買瓜，王太太看了看打算挑一個(gè)小的，卻聽見王元先生說：“咱買那個(gè)大的?！?/p>

“大的貴3倍呢……”王太太猶豫?！按蟮谋刃〉闹?。”王先生說。

王太太挑了兩個(gè)大瓜，交了錢，看看別人都在搶小瓜，似乎又有些猶豫。王先生看出她猶豫，笑笑說：“你吃瓜吃的是什么？吃的是容積，不是面積。那小瓜的半徑是大瓜的2／3稍弱，容積可是按立方算的。小的容積不到大的30％，當(dāng)然買大的賺?！?/p>

王太太點(diǎn)點(diǎn)頭，又搖搖頭：“你算得不對(duì)，那大西瓜皮厚，小西瓜還皮薄呢，算容積，恐怕還是買大的吃虧?！?/p>

卻見王先生胸有成竹，點(diǎn)點(diǎn)頭道：“你別忘了那小西瓜的瓜皮卻是3個(gè)瓜的，大西瓜只有1個(gè)，哪個(gè)皮多你再算算表面積看?！?/p>

王太太說：“頭疼，我不算了?！眱蓚€(gè)人抱了西瓜回家，留下魏歪脖看得目瞪口呆。

這里稍微說一下，王元，著名數(shù)學(xué)家，院士，華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主，主要研究領(lǐng)域是解析數(shù)論。他曾任研究室主任、所長(zhǎng)、所學(xué)術(shù)委員會(huì)主任、中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)、《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》主編，聯(lián)邦德國(guó)《分析》雜志編輯。

這里西瓜皮的體積計(jì)算就要用到多重積分的知識(shí)，這個(gè)問題其實(shí)是計(jì)算大球和三個(gè)小球體積和的大小比較。我們知道球體檢計(jì)算公式：

通過計(jì)算可得大球體積是小球體積的3.37倍，然后再根據(jù)球表面積計(jì)算公式：

通過計(jì)算可得大球表面積是小球表面積的0.75倍。那這樣算來，體積一樣，皮三個(gè)小瓜比一個(gè)大瓜大，那還是買大的劃算。

2. 薯片掉地上還能吃嗎

薯片，大家都知道，一般都是一個(gè)弧面，一個(gè)弧面掉在一個(gè)平面上面，學(xué)霸說，這是一個(gè)相切接觸，相切接觸就是說兩個(gè)面其實(shí)是相交于一條線，而一條線在二維上面的面積積分等于零，那么問題解決了。

一個(gè)薯片掉在地上臟了嗎？臟了。臟了多少？臟了一根線。一根線的面積是多少呢？等于零，所以沒臟。

這就是微分理念里的無限小，最終無限趨近于零的理念。

《莊子?天下》所說的至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一。翻譯過來就是大到?jīng)]有外界，稱之為無窮大。小到?jīng)]有內(nèi)含，稱之為無窮小。這里提出的概念正是早期數(shù)學(xué)家腦子里的無窮大無窮小。

總結(jié)

微積分創(chuàng)立的直接推動(dòng)力是現(xiàn)代科技的發(fā)展，有效的解決了變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，比如行星橢圓軌跡運(yùn)行時(shí)的瞬時(shí)速度、曲線上的某個(gè)點(diǎn)的切線；比如望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)時(shí)要確定透鏡曲面的法線、函數(shù)的最大、最小值；比如計(jì)算炮彈的最大射程等……成為了研究數(shù)、圖形、運(yùn)動(dòng)以及變化的一把鑰匙。

目前的人工智能更多是基于機(jī)器學(xué)習(xí)，其中很多算法都需要微積分這個(gè)工具。

相關(guān)概念有凸優(yōu)化、多元函數(shù)、偏導(dǎo)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中反向傳播使用的鏈?zhǔn)椒▌t、用多項(xiàng)式逼近描述高階導(dǎo)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)、牛頓法、梯度下降法等等。

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作者：老張，宜信集團(tuán)保險(xiǎn)事業(yè)部智能保險(xiǎn)產(chǎn)品負(fù)責(zé)人，運(yùn)營(yíng)軍師聯(lián)盟創(chuàng)始人之一，《運(yùn)營(yíng)實(shí)戰(zhàn)手冊(cè)》作者之一。

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