本文是《如何七周成為數(shù)據(jù)分析師》的第十四篇教程，如果想要了解寫作初衷，可以先行閱讀七周指南。溫馨提示：如果您已經(jīng)熟悉概率，大可不必再看這篇文章，或只挑選部分。

概率是度量一件事發(fā)生的可能性，它是介于0到1之間的數(shù)值。

我們拋一枚硬幣，它有正面朝上和反面朝上兩種結(jié)果，通常用樣本空間S表示，S={正面，反面}。

如果把硬幣拋兩次呢？它擁有四種結(jié)果，S={(正面,正面),(反面,反面),(正面,反面),(反面,正面)}。拋三次則是六種。

現(xiàn)實中的概率事件更復(fù)雜，比如六合彩，它會有多少種可能性？這時不能再像硬幣一樣心算了，要用到組合的知識。

組合和排列

組合是高中課本的內(nèi)容，當(dāng)需要從N個物體中選取n個物體，可以通過組合公式計算出可能的結(jié)果數(shù)量。

公式或許和大家印象中的有差異，因為中國國內(nèi)的數(shù)學(xué)教材以蘇聯(lián)為主，N和n的上下位置與歐美教材是相反的。我這里以歐美規(guī)范為主。

從五個顏色各異的小球中隨機抽取兩個時，將數(shù)值帶入到公式，得出答案為10種。

排列是組合的特殊情況，當(dāng)要考慮選取的順序時，相同的n個物體，因為不同的順序會有不同的結(jié)果，公式變?yōu)椋?/p>

依舊是五種顏色的小球，這時需要考慮選取的小球顏色先后次序，代入求出答案變?yōu)?0種。

在Excel的函數(shù)中，COMBIN和PERMUT函數(shù)分別對應(yīng)組合和排列。

事件及概率

前面我們已經(jīng)定義了樣本空間S，稱事件為樣本空間的一個子集，它是概率論的基礎(chǔ)。

硬幣正面朝上是一個事件，反面朝上也是一個事件。當(dāng)硬幣扔兩次時，也可以定義一個事件叫至少有一次正面朝上，此時事件為{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面)}。

單純的事件沒有意義，要結(jié)合概率來思考。比如至少有一次正面朝上，它由(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面)三個事件求和得出，概率為75%。

通常，如果能確定一個試驗的所有樣本點并且能夠知曉每個樣本點的概率，那么我們就能求出事件的概率。

雖然大量的樣本點會造成計算的繁瑣，但是通過一些基本公式和定理能快速計算。

事件A的補指所有不屬于事件A的樣本點組成的事件。概率中有一個可視化技巧叫文氏圖／維恩圖。

事件的補可以定義為P(A-)，有P(A-)+P(A)=1。針對拋兩次硬幣至少有一次朝上的概率為75%，它的補集為一次朝上都沒有，其概率為1-75%=25%。

概率的公式

事件的組合有兩個概念：并和交。事件A和B的并，可以用SQL中的Full join理解，即包含了事件A和事件B的所有樣本點。記作A∪B。

兩個圓形區(qū)域所在的部分就是事件A和B的并，其中重疊的部分說明有一些樣本點即屬于A又屬于B，它可以稱之為交，可以用SQL中的Inner Join理解。記作A∩B。

通過交和并，引申出概率中的加法公式：

P(A∪B) = P(A)+P(B) – P(A∩B)。P(A∪B) 是兩個圓形面積，P(A)是藍(lán)色圓面積，P(B)是橙色圓面積，當(dāng)兩者相加時，會多出一塊重疊區(qū)域，于是減去P(A∩B)進(jìn)行修正，得出正確的結(jié)果。

再來考慮事件中的一種特殊情況，互斥事件。事件A和事件B中，當(dāng)一個發(fā)生另外一個肯定不發(fā)生，則稱為互斥事件。此時，P(A∪B) = P(A)+P(B) 。

生活中很多概率處處相互關(guān)聯(lián)和影響。某個事件A發(fā)生的可能性受到另外一個事件B的影響，此時A發(fā)生的可能性叫做條件概率，記作P(A|B)。表明我們是在B條件已經(jīng)發(fā)生的條件下考慮A發(fā)生的可能性，統(tǒng)計學(xué)中稱為給定條件B下事件A的概率。

對于任何條件概率，存在：

這個公式依舊可以用文氏圖解釋。橙色圓表示事件B已經(jīng)發(fā)生，如果想要知道B已經(jīng)發(fā)生的情況下事件A發(fā)生的概率，則只能考慮橙色圓和藍(lán)色元的交集部分即P(A∩B)。此時P(A∩B) 除以P(B)即給定條件B下事件A發(fā)生的概率。

當(dāng)某一事件受另外事件的影響，我們稱其為條件概率。相反，某一事件完全不受另外事件的影響則為獨立事件。如果事件A和事件B相互獨立，則P(A|B)=P(A)。

互斥事件和獨立事件不是一回事，獨立事件是完全不相關(guān)的情況，而互斥是某一事件發(fā)生另外一個事件必然不發(fā)生，它們是相關(guān)的。

貝葉斯公式

條件概率既然是通過一個事件發(fā)生了來計算另外一件事發(fā)生的可能性，那么如何計算呢？不妨先看一個經(jīng)典案例。

如果某種疾病的發(fā)病率為千分之一?，F(xiàn)在有一種試紙，它在患者得病的情況下，有99%的準(zhǔn)確率判斷患者得病，在患者沒有得病的情況下，有5%的可能誤判患者得病。現(xiàn)在試紙說一個患者得了病，那么患者真的得病的概率是多少？

在下意識的判斷中，我們可能認(rèn)為是50%左右的數(shù)據(jù)，或者更高。然而實際并不是。

將求解策略轉(zhuǎn)換為樹形圖的方式。按照患病率為千分之一，將人群劃分成健康人群和患者，分別是99900個和100個。然后再根據(jù)試紙對不同人群的概率求解。

最終健康人群中誤測出有病的是4995個，而真正患者中測出來是99個。所以當(dāng)遇到一個患者被測出來有病，實際上真正得病的概率是99/(4995+99)=1.9%。

這個概率非常低，試紙絕大部分的判斷都是誤診，它產(chǎn)生的原因在于患病率千分之一這個前提條件。在統(tǒng)計學(xué)中把它稱為先驗概率，即事件發(fā)生的因，根據(jù)先驗概率的變化，得到所謂的后驗概率，即事件發(fā)生的果，貝葉斯定理就是其中的一種計算方法。數(shù)據(jù)推導(dǎo)過程大家有興趣可以自行查閱，都是基礎(chǔ)上文公式的簡單應(yīng)用

P(A1)代表是真實患者的概率，P(A2)代表是健康人群的概率，P(B)代表試紙查出患者的概率。于是得出：

P(B|A1)為真實患者條件下試紙查出患者的概率，即99%。

P(B|A2)為健康人群條件下試紙誤判為患者的概率，即5%。

P(A1)為真實患病率千分之一，P(A2)為健康率千分之九九九。

P(A1|B)是在B發(fā)生的情況下A發(fā)生的可能性。應(yīng)用在上文的例子中，就是試紙查出其為患者的情況下，他是真的患者的概率。將數(shù)字都代入公式計算。

和我們用樹形圖計算出的答案一樣。不妨思考一下，如果試紙獲得了改進(jìn)，對真實患者的判斷準(zhǔn)確率優(yōu)化到99.9%，對健康人群的誤判率降低到0.1%。此時P(A1|B)為多少？其實還是不到50%，大家有興趣可以計算一下。

上文列舉的公式是兩事件模型，當(dāng)先驗概率A是多個時，正式表達(dá)為：

貝葉斯在Excel中并沒有簡化的函數(shù)，需要手動處理，新手可能對概念還是有些模糊，多做幾次練習(xí)就好了?？梢越柚鷺湫螆D輔助判斷。

再來做一道練習(xí)題：中國五百位富豪，其中，讀過大學(xué)的只有30%，是否能說明讀書無用論？

并不能，因為它涉及了一個先驗概率即所有中國人中讀大學(xué)的比例，更準(zhǔn)確地說，是富豪們讀大學(xué)年代的讀大學(xué)比例。不妨大家自己查閱資料作出解答。

上文談及的都是理論，數(shù)據(jù)的應(yīng)用場景呢？比如拼寫檢查，我輸入了一個字典中沒有的英文單詞：thi，這時候機器就要猜測是the，還是this？這個問題就轉(zhuǎn)換成概率中的P(機器猜測的單詞 | thi )，當(dāng)單詞為thi時，機器所猜測的單詞準(zhǔn)確率是多少？

應(yīng)用貝葉斯公式轉(zhuǎn)換：P( this | thi ) = P( this )P( thi | this )，以及P( the | thi ) = P( the )P( thi | the )。因為分母是樣本空間常數(shù)所以可以略去，P( this )代表的是this這個單詞在全體文本中出現(xiàn)的概率，P( thi | this )代表的是this這個單詞打錯為thi的概率，結(jié)果為這兩個概率的乘積，以此類推。

P輸出的都是概率，假設(shè)計算后the的概率為80%，this的概率為75%，此時輸入法糾正就把the排在第一，this排在第二。

貝葉斯定理在數(shù)據(jù)分析中是一種常用的手段，除了對日常生活中違背經(jīng)驗主義的各種數(shù)據(jù)陷阱，它也能廣泛應(yīng)用在機器學(xué)習(xí)諸如郵件識別、文本分詞、拼寫檢查等場景中。

上半部分的內(nèi)容比較簡單，下半部分跨越大了些，而它又是不少機器學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，大家配合其他資料加深學(xué)習(xí)。下一章講解概率中的離散和連續(xù)隨機變量。

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秦路，微信公眾號ID：tracykanc，人人都是產(chǎn)品經(jīng)理專欄作家。

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