本文是《如何七周成為數(shù)據(jù)分析師》的第十五篇教程，如果想要了解寫作初衷，可以先行閱讀七周指南。溫馨提示：如果您已經(jīng)熟悉概率分布，大可不必再看這篇文章，或只挑選部分。

我們已經(jīng)了解概率的基礎(chǔ)，概率中通常將試驗(yàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量將每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果賦予了一個(gè)數(shù)值，包含離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。

擲硬幣就是一個(gè)典型的離散型隨機(jī)變量，離散隨機(jī)變量可以取無(wú)限個(gè)但可數(shù)的數(shù)值。而連續(xù)變量相反，它在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)能取任意的數(shù)值。時(shí)間就是一個(gè)典型的連續(xù)變量，1.25分鐘、1.251分鐘，1.2512分鐘，它能無(wú)限分割。

既然隨機(jī)變量可以取不同的值，統(tǒng)計(jì)學(xué)家就用概率分布描述隨機(jī)變量取不同值的概率。相對(duì)應(yīng)的，有離散型概率分布和連續(xù)型概率分布。

對(duì)于離散型隨機(jī)變量x，定義一個(gè)概率函數(shù)叫f(x)，它給出了隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率。

拿出一個(gè)骰子，擲到6的概率是f(6) = 1/6，擲到1和6的概率則是f(1)+f(6) = 1/3。

數(shù)學(xué)期望和方差

現(xiàn)在有一個(gè)運(yùn)營(yíng)活動(dòng)，兩套抽獎(jiǎng)概率方案，如下：

作為運(yùn)營(yíng)人員，應(yīng)該怎么衡量?jī)煞N抽獎(jiǎng)方法的好壞呢？

數(shù)學(xué)期望是對(duì)隨機(jī)變量中心位置的一種度量。是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的乘以其結(jié)果的總和。簡(jiǎn)單說(shuō)，它是概率中的平均值，可以用期望對(duì)比兩套方案。

假設(shè)一等獎(jiǎng)成本1000元，二等獎(jiǎng)成本500元，三等獎(jiǎng)成本100元，歡迎下次再來(lái)當(dāng)然沒錢，而用戶參加一次抽獎(jiǎng)需要5元。我們將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)換成運(yùn)營(yíng)方的收益和成本計(jì)算期望（下面的盈虧是公司角度的）。

于是E(x) = (-990*5%)+(-490*10%)+(-90*20%)+(10*65%) = -110。也就是說(shuō)，A方案能夠期望每次抽獎(jiǎng)運(yùn)營(yíng)方虧損110元。計(jì)算一下B方案，則是虧損150元。如果從用戶的角度看，每一次抽獎(jiǎng)的期望則反過(guò)來(lái)，即一等獎(jiǎng)能受益990元，二等獎(jiǎng)能受益490元…A方案玩一次平均收益110元。

想必大家已經(jīng)知道了如何設(shè)計(jì)活動(dòng)的盈虧?rùn)C(jī)制，感興趣可以自行調(diào)節(jié)中獎(jiǎng)概率和成本。

期望值衡量概率的平均值，可是抽獎(jiǎng)本來(lái)就是很激動(dòng)人心的事情，哪怕明知道會(huì)賠錢，人們還樂此不疲，為什么？因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)橐孕〔蟆?/p>

方差就是這種風(fēng)險(xiǎn)的度量，即隨機(jī)變量的變異性。它和描述統(tǒng)計(jì)學(xué)的方差是一個(gè)含義。

方差越大，隨機(jī)變量的結(jié)果越不穩(wěn)定，計(jì)算A方案的方差如下：

方差最后為62600，說(shuō)明期望的波動(dòng)很大。標(biāo)準(zhǔn)差為sqrt(62600) = 250.19，代表每一次的抽獎(jiǎng)，與期望收益-110的距離是250.19元。

到這里，概率和期望方差的基本玩法已經(jīng)講完了。

二項(xiàng)概率分布

二項(xiàng)分布是一種離散型的概率分布。故明思義，二項(xiàng)代表它有兩種可能的結(jié)果，把一種稱為成功，另外一種稱為失敗。

除了結(jié)果的規(guī)定，它還需要滿足其他性質(zhì)：每次試驗(yàn)成功的概率均是相同的，記錄為p；失敗的概率也相同，為1-p。每次試驗(yàn)必須相互獨(dú)立，該試驗(yàn)也叫做伯努利試驗(yàn)，重復(fù)n次即二項(xiàng)概率。

擲硬幣就是一個(gè)典型的二項(xiàng)分布。當(dāng)我們要計(jì)算拋硬幣n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二項(xiàng)分布的公式：

假設(shè)拋硬幣5次，恰巧有3次正面朝上，則其概率為31.25%?？梢允褂肊xcel中的BINOM.DIST函數(shù)計(jì)算。

不妨把題目變化一下，變成計(jì)算硬幣至少有三次正面朝上的概率是多少？有一種簡(jiǎn)單的方法是累加，將恰巧有3次，恰巧有4次，恰巧有5次的概率相加，結(jié)果便是至少3次，為50%。

回到運(yùn)營(yíng)活動(dòng)的例子，上面一個(gè)運(yùn)營(yíng)活動(dòng)公司虧慘了，現(xiàn)在運(yùn)營(yíng)需要重新做一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每位用戶擁有10次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)概率是5%。老板準(zhǔn)備先考慮成本問(wèn)題，想知道至少有3次以上中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)的概率是多少？

按照上題的思路，可以拿恰巧3次，恰巧4次直到恰巧10次累加求和，但是這樣太麻煩了。此時(shí)可以換一個(gè)思路，先計(jì)算最多2次的概率是多少。那么便是f(0)+f(1)+f(2)，結(jié)果是92.98%，利用概率公式1-92.98%，就是至少3次的概率了，為7.02%?？磥?lái)老板還是能松口氣的。

二項(xiàng)概率的數(shù)學(xué)期望為E(x) = np，方差Var(x) = np(1-p)。抽獎(jiǎng)10次，那么抽獎(jiǎng)的期望值就是1，方差為0.9。

運(yùn)營(yíng)學(xué)會(huì)二項(xiàng)分布，在涉及概率的各種活動(dòng)中，將變得游刃有余。它的原理甚至能用到AB測(cè)試。大學(xué)考試中二項(xiàng)概率需要查專門的概率表計(jì)算，不過(guò)現(xiàn)在各類工具層出不窮，Python、R、Excel都能直接計(jì)算。

泊松概率分布

泊松概率是另外一個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量，它主要用于估計(jì)某事件在特定時(shí)間或空間中發(fā)生的次數(shù)。比如一天內(nèi)中獎(jiǎng)的個(gè)數(shù)，一個(gè)月內(nèi)某機(jī)器損壞的次數(shù)等。

泊松概率的成立條件是在任意兩個(gè)長(zhǎng)度相等的區(qū)間中，時(shí)間發(fā)生的概率是相同的，并且事件是否發(fā)生都是相互獨(dú)立的。

泊松概率既然表示事件在一個(gè)區(qū)間發(fā)生的次數(shù)，這里的次數(shù)就不會(huì)有上限，x取值可以無(wú)限大，只是可能性無(wú)限接近0，f(x)的最終值很小。

x代表發(fā)生x次，u代表發(fā)生次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，概率函數(shù)為：

現(xiàn)在又舉辦了一個(gè)新的運(yùn)營(yíng)活動(dòng)，這次的中獎(jiǎng)概率未知，只知24小時(shí)內(nèi)中獎(jiǎng)的平均個(gè)數(shù)為5個(gè)，老板異想天開地想知道24小時(shí)內(nèi)恰巧中獎(jiǎng)次數(shù)為7的概率是多少？

此時(shí)x=7，u=5（區(qū)間內(nèi)發(fā)生的平均次數(shù)就是期望），代入公式求出概率為10.44%。Excel中的函數(shù)為POISSON.DIST。

接下來(lái)繼續(xù)加大問(wèn)題難度，求中獎(jiǎng)次數(shù)至少7次的概率。此時(shí)f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=86.66%，那么至少七次的概率為13.33%。

如果問(wèn)題變成12小時(shí)內(nèi)呢？老板希望知道12小時(shí)內(nèi)中獎(jiǎng)次數(shù)為3次的概率是多少？

24小時(shí)內(nèi)中獎(jiǎng)概率的期望數(shù)是5，那么12小時(shí)內(nèi)的中獎(jiǎng)概率期望數(shù)是2.5，于是令u=2.5，求出12小時(shí)內(nèi)中獎(jiǎng)次數(shù)為3的概率是79.99%。

泊松概率還有一個(gè)重要性質(zhì)，它的數(shù)學(xué)期望和方差相等，所以上題的方差為2.5，標(biāo)準(zhǔn)差為根號(hào)2.5，即1.58。

正態(tài)分布

上述分布都是離散概率分布，當(dāng)隨機(jī)變量是連續(xù)型時(shí)，情況就完全不一樣了。因?yàn)殡x散概率的本質(zhì)是求x取某個(gè)特定值的概率，而連續(xù)隨機(jī)變量不行，它的取值是可以無(wú)限分割的，它取某個(gè)值時(shí)概率近似于0。連續(xù)變量是隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，此時(shí)的概率函數(shù)叫做概率密度函數(shù)。

正態(tài)概率分布是連續(xù)型隨機(jī)變量中最重要的分布。世界上絕大部分的分布都屬于正態(tài)分布，人的身高體重、考試成績(jī)、降雨量等都近似服從。

正態(tài)分布如同一條鐘形曲線。中間高，兩邊低，左右對(duì)稱。想象身高體重、考試成績(jī)，是否都呈現(xiàn)這一類分布態(tài)勢(shì)：大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在某處，小部分往兩端傾斜。

正態(tài)概率密度函數(shù)為：

是不是看得頭暈了？u代表均值，σ代表標(biāo)準(zhǔn)差，兩者不同的取值將會(huì)造成不同形狀的正態(tài)分布。均值表示正態(tài)分布的左右偏移，標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的寬度和平坦，標(biāo)準(zhǔn)差越大曲線越平坦。

以前介紹過(guò)一個(gè)正態(tài)分布的經(jīng)驗(yàn)法則：

正態(tài)隨機(jī)變量有69.3%的值在均值加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，95.4%的值在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，99.7%的值在三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。這條經(jīng)驗(yàn)法則可以幫助我們快速計(jì)算數(shù)據(jù)的大體分布。

均值u=0，標(biāo)準(zhǔn)差σ=1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它的隨機(jī)變量用z表示，它是推斷統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。將均值和標(biāo)準(zhǔn)差代入正態(tài)概率密度函數(shù)，得到一個(gè)簡(jiǎn)化的公式：

現(xiàn)在可以用簡(jiǎn)化的公式計(jì)算概率密度了。首先學(xué)習(xí)一個(gè)新的函數(shù)叫累計(jì)分布函數(shù)，它是概率密度函數(shù)的積分。用P(X<=x)表示隨機(jī)變量小于或者等于某個(gè)數(shù)值的概率，F(xiàn)(x) = P(X<=x)。

曲線就是概率密度函數(shù)，當(dāng)x取某個(gè)值時(shí)，曲線上f(x)點(diǎn)的數(shù)值即表示隨機(jī)變量在對(duì)應(yīng)的x點(diǎn)值的取值概率，曲線與X軸相交的陰影面積就是累計(jì)分布函數(shù)。我們不妨把概率密度函數(shù)按其名字簡(jiǎn)單理解成「密度」，畢竟連續(xù)變量只有在區(qū)間中才有計(jì)算的意義，于是密度函數(shù)充當(dāng)了輔助計(jì)算的角色。分析中我們更多實(shí)用累計(jì)分布函數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，給定一個(gè)值z(mì)，可以計(jì)算隨機(jī)變量z小于等于某一個(gè)值的概率；z在兩個(gè)值之間的概率；以及z大于等于一個(gè)值的概率。這三種計(jì)算都用到累計(jì)分布函數(shù)，分別記作P(z<=x)，P(x1<=z<=x2)，P(z>=x)。

首先計(jì)算z小于等于1的概率，即P(z<=1)。由excel 的函數(shù)NORM.DIST(1,0,1,TRUE)求得值為0.8413。于是P(z<=1)=0.8413。同理，P(z>1) = 1-P(z<=1) = 0.1586。

若要計(jì)算z在區(qū)間-1～1.25的概率，即P(-1<=z<=1.25)?？梢詫⑵洳鸾鉃楣剑篜(-1<=z<=1.25) = P(z<=1.25) – P(z<=-1) = 0.735。

如果大家在公式轉(zhuǎn)換中有困惑，不妨結(jié)合上面的陰影圖看。靠左的陰影即z小于等于0.8時(shí)(目測(cè))的概率，如果我們要算0～0.8之間的概率呢？就是把z<=0的那一半給挖掉，非常粗暴的算法。

到了這里大家可能發(fā)覺，在正態(tài)分布的計(jì)算中，不論求哪一類區(qū)間，我們都是先轉(zhuǎn)換成z小于等于某個(gè)值先計(jì)算。這是一個(gè)潛移默化的規(guī)則，因?yàn)樵缙谡龖B(tài)概率的計(jì)算都要用到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率表，它以z小于等于作查詢標(biāo)準(zhǔn)?，F(xiàn)在雖然計(jì)算資源已經(jīng)大大豐富，但是這個(gè)習(xí)慣還是保留了下來(lái)。

之所以強(qiáng)調(diào)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，是因?yàn)樗械恼龖B(tài)分布概率都可以利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算。當(dāng)我們具有一個(gè)任意均值的u和標(biāo)準(zhǔn)差σ，都能將其轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布。

現(xiàn)在有一個(gè)u=10和σ=2的正態(tài)隨機(jī)變量，求x在10與14之間的概率是多少？

當(dāng)x=10時(shí)，z=(10-10)/2=2。當(dāng)x=14時(shí)，z=(14-10)/2=2。于是x在10和14之間的概率等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中0和2之間的概率。計(jì)算P(0<=z<=2) =P(z<=2) – P(z<=0) =0.4772。

現(xiàn)在是最后一個(gè)運(yùn)營(yíng)活動(dòng)了，不再是抽獎(jiǎng)，而是最終贈(zèng)送獎(jiǎng)品的環(huán)節(jié)。已知獎(jiǎng)品的保質(zhì)期滿足正態(tài)分布，均值90天，標(biāo)準(zhǔn)差5天。為了考慮用戶體驗(yàn)，想知道獎(jiǎng)品70天以內(nèi)就壞的概率是多少？

當(dāng)x=70時(shí)，有z=(70-90)/5 = -4。p(z<=-4)=0.003%。概率非常小，可以忽略不計(jì)，所以產(chǎn)品質(zhì)量杠杠的。經(jīng)歷了那么多活動(dòng)，老板終于可以松一口氣了。

在概率分布中還有一個(gè)概念叫正態(tài)近似。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，二項(xiàng)分布可以近似于正態(tài)分布，泊松分布也有相似的情況，大家有興趣可以去了解，這是一種簡(jiǎn)便方法，不過(guò)工作中現(xiàn)在都是計(jì)算機(jī)了，這點(diǎn)反而不重要了。

了解完各類分布后，我們將進(jìn)入最后的環(huán)節(jié)，假設(shè)檢驗(yàn)，它是基于概率的理論，數(shù)據(jù)分析中的AB測(cè)試，就是其最常見的應(yīng)用。

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秦路，微信公眾號(hào)ID：tracykanc，人人都是產(chǎn)品經(jīng)理專欄作家。

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