如何合理的衡量自然增長(zhǎng)呢？或許從文章中你可以得到一些答案。

雖然依文主脾氣，是喜歡按照純邏輯順序敘述這件事，但是因?yàn)槭墙讵?dú)立思考產(chǎn)生的全新理論，沒有任何參考對(duì)象，所以本文目的是為了與更多人討論這種理論的可行性，因此姑且提出幾個(gè)問題，讓觀眾產(chǎn)生點(diǎn)疑惑，以便有少數(shù)觀眾愿意讀完與我探討：

1. 只要我投入越多的資金，我就可以帶來越多的用戶？
2. 我每多投入一筆差不多金額的資金，我都可以帶來一批差不多數(shù)量的用戶？
3. 投入資金和用戶增長(zhǎng)之間是不是有一個(gè)最合理值？
4. 大家廣傳的“指數(shù)型增長(zhǎng)”真的是做到了指數(shù)型嗎？指數(shù)型增長(zhǎng)又代表產(chǎn)品處在什么狀態(tài)？非指數(shù)型增長(zhǎng)產(chǎn)品的危機(jī)是什么？

到這里，不感興趣的人都應(yīng)該已經(jīng)離開，我就與選擇留下的人來討論下增長(zhǎng)的問題。

概念的個(gè)人主觀解釋：

本篇，文主將增長(zhǎng)拆解為三個(gè)部分：

用戶自發(fā)自然增長(zhǎng)：沒有投入任何資源的情況下，依靠用戶自發(fā)傳播產(chǎn)生的增長(zhǎng)。

投入資源促使用戶自然增長(zhǎng)：投入一些資源，但是資源并不用于直接讓用戶增長(zhǎng)，而是投入資源接觸到用戶，對(duì)用戶介紹產(chǎn)品某一部分后引起用戶興趣，用戶自發(fā)進(jìn)入；能夠用利益吸引用戶進(jìn)入，并且不會(huì)直接離開產(chǎn)品的增長(zhǎng)方式也歸在此類。

暴力推廣帶來直接增長(zhǎng)：直接給用戶真實(shí)收入或利益，收入與利益的條件是下載/注冊(cè)產(chǎn)品，不關(guān)心用戶是否會(huì)在很短時(shí)間內(nèi)立即離開產(chǎn)品。

本文中，我將前兩類統(tǒng)一歸為自然增長(zhǎng)。

為什么我突然想到了這個(gè)問題？

在談自然增長(zhǎng)這個(gè)話提前，我想先和大家聊聊我觀察到的兩個(gè)現(xiàn)象，它們促使我開始思考這個(gè)問題：

1.增長(zhǎng)指標(biāo)

在很多公司中，我發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象：尤其是To C的產(chǎn)品，當(dāng)大家制定一個(gè)階段的增長(zhǎng)目標(biāo)時(shí)，似乎有一條公式是永恒成立的：

指標(biāo)=經(jīng)驗(yàn)+拍腦袋

很多人是憑著自己多年了解行業(yè)的經(jīng)驗(yàn)臨時(shí)一拍腦袋定一個(gè)指標(biāo)，如你所見，它們基本都是1000，10000，100000…的整數(shù)倍，這使我思考，對(duì)一個(gè)自然增長(zhǎng)的產(chǎn)品，難道沒有一個(gè)簡(jiǎn)單易用的方式來預(yù)測(cè)下一階段我們的用戶會(huì)達(dá)到多少嗎？

2.“資源量=增長(zhǎng)速度”這個(gè)等式對(duì)嗎？

當(dāng)然，所有人都會(huì)覺得上述等式是愚蠢的，所以，增長(zhǎng)的極限在哪里？

為了搞清楚問題，我假設(shè)了一個(gè)最簡(jiǎn)單的情景

（概念：裂變指的是當(dāng)用戶是自然增長(zhǎng)狀態(tài)下時(shí)，一位用戶能帶來數(shù)位新用戶，這時(shí)我認(rèn)為最開始的那位用戶產(chǎn)生了裂變；這種增長(zhǎng)稱之為裂變式增長(zhǎng)，你可以用細(xì)胞分裂來比喻它）

如果我們完整地從個(gè)體層面闡述用戶增長(zhǎng)這件事，它會(huì)是這樣：

在XXX時(shí)間內(nèi)，有X%的用戶能夠產(chǎn)生裂變，這些用戶每人邀請(qǐng)X位新用戶：
這些用戶中有X位是自然傳播帶來的；有X位是投入XX資源帶來的。

我們可以從中提取四個(gè)重要的獨(dú)立參變量：

• 幾%的用戶？
• 一段時(shí)間？
• 裂變多少個(gè)？
• 投入多少資源？

但是如果我同時(shí)考慮這么多變量，我需要多元函數(shù)解決，而且我相信你不會(huì)相信那個(gè)電腦擬合的答案。所以，我假設(shè)一種最簡(jiǎn)單的情形：

若現(xiàn)在有一個(gè)發(fā)展中的邀請(qǐng)制社區(qū)產(chǎn)品，用戶必須有邀請(qǐng)碼才能注冊(cè)，每個(gè)人每個(gè)月也只能發(fā)出一個(gè)邀請(qǐng)碼；按照現(xiàn)在的用戶增速，每一個(gè)月用戶數(shù)量就會(huì)翻一倍（即進(jìn)入的所有用戶每個(gè)人邀請(qǐng)了一個(gè)人）；

那么，一個(gè)月后這個(gè)社區(qū)的用戶體量極限會(huì)為現(xiàn)在的e（自然常數(shù)，≈2.71828…）倍；（這種情況是假設(shè)，每一個(gè)進(jìn)入的新用戶一進(jìn)入在無限小的一個(gè)時(shí)間后立刻開始邀請(qǐng)下一個(gè)用戶，你可以假設(shè)是1ns）

以上結(jié)論是由一個(gè)很簡(jiǎn)單的式子得到的：

我們帶入情景可以得到：

以下部分為推導(dǎo)：（知道這個(gè)結(jié)論如何而來的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)良好的你可以直接跳過）：

假定有一種單細(xì)胞生物，它每過24小時(shí)分裂一次。

那么很顯然，這種生物的數(shù)量，每天都會(huì)翻一倍。今天是1個(gè)，明天就是2個(gè)，后天就是4個(gè)。我們可以寫出一個(gè)增長(zhǎng)數(shù)量的公式：

上式中的x就表示天數(shù)。這種生物在x天的總數(shù)，就是2的x次方。這個(gè)式子可以被改成下面這樣：

其中，1表示原有數(shù)量，100%表示單位時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)率。

我們繼續(xù)假定：每過12個(gè)小時(shí)，也就是分裂進(jìn)行到一半的時(shí)候，新產(chǎn)生的那半個(gè)細(xì)胞已經(jīng)可以再次分裂了。

因此，一天24個(gè)小時(shí)可以分成兩個(gè)階段，每一個(gè)階段都在前一個(gè)階段的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)50%。

當(dāng)這一天結(jié)束的時(shí)候，我們一共得到了2.25個(gè)細(xì)胞。其中，1個(gè)是原有的，1個(gè)是新生的，另外的0.25個(gè)是新生細(xì)胞分裂到一半的。

如果我們繼續(xù)修改假設(shè)，這種細(xì)胞每過8小時(shí)就具備獨(dú)立分裂的能力，也就是將1天分成3個(gè)階段。

那么，最后我們就可以得到大約2.37個(gè)細(xì)胞。

很自然地，如果我們進(jìn)一步設(shè)想，這種分裂是連續(xù)不斷進(jìn)行的，新生細(xì)胞每分每秒都具備繼續(xù)分裂的能力，那么一天最多可以得到多少個(gè)細(xì)胞呢？

當(dāng)n趨向無限時(shí)，這個(gè)式子的極值等于2.718281828…。

因此，當(dāng)增長(zhǎng)率為100%保持不變時(shí)，我們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)最多只能得到2.71828個(gè)細(xì)胞。數(shù)學(xué)家把這個(gè)數(shù)就稱為e，它的含義是單位時(shí)間內(nèi)，持續(xù)的翻倍增長(zhǎng)所能達(dá)到的極限值。

這個(gè)值是自然增長(zhǎng)的極限，因此以e為底的對(duì)數(shù)，就叫做自然對(duì)數(shù)。

so，我已經(jīng)得到一個(gè)最簡(jiǎn)單情況的增長(zhǎng)，我進(jìn)一步對(duì)它作推廣：（以下均為極限情況下，即最快/最多可以是多少，實(shí)際是很難達(dá)到的）

如果我的基數(shù)是100個(gè)用戶，那么我一個(gè)月后會(huì)有100e個(gè)用戶

如果用戶不是只能邀請(qǐng)一個(gè)人，一個(gè)人可以邀請(qǐng)2個(gè)人（甚至沒有限制，由數(shù)據(jù)觀測(cè)近期平均一個(gè)人邀請(qǐng)5個(gè)）；或者不是全部的用戶都邀請(qǐng)了新用戶，由近期數(shù)據(jù)觀測(cè)，平均15%的用戶邀請(qǐng)了新用戶。

定義：rate=? “幾%的用戶” * “每個(gè)用戶邀請(qǐng)幾個(gè)人”

極限為：

如果是求兩個(gè)月后的增長(zhǎng)呢：

在時(shí)間t的情況下，通用公式就是：

同理，我們可以推算得到增長(zhǎng)到一定規(guī)模需要的時(shí)間：

比如5%的用戶發(fā)出了邀請(qǐng)，一個(gè)用戶邀請(qǐng)一個(gè)人，100個(gè)用戶變成200的最快時(shí)間為

計(jì)算結(jié)果是13.86月：（所以別為了穩(wěn)定增長(zhǎng)，怕破壞用戶增長(zhǎng)，就不去加速自然增長(zhǎng)，當(dāng)然暴力增長(zhǎng)一直都是不提倡的）

以上，我們已經(jīng)討論了所有的極限情況，并得到極限情況下的增長(zhǎng)函數(shù)：

用戶一段時(shí)間后的規(guī)模預(yù)測(cè)為：（m為現(xiàn)在的用戶規(guī)模，rate=“時(shí)間t”*“參與邀請(qǐng)的用戶占比%”*“每個(gè)用戶邀請(qǐng)的數(shù)量”）

該極限式不僅適用于用戶增長(zhǎng)的極限，同樣適用于預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)規(guī)模、銷售額增長(zhǎng)、產(chǎn)品銷量等在相對(duì)穩(wěn)定環(huán)境下增長(zhǎng)的指標(biāo)。實(shí)際上該值不像我們數(shù)學(xué)上常用的那樣增速飛快（即指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)），往往實(shí)際場(chǎng)景中，增長(zhǎng)是該極限的前端一部分：

它有什么意義呢？

我們可以看到，這個(gè)極限式實(shí)際上在上升到巨大規(guī)模前，它的曲線并沒有那么陡峭，也就是說，即使投入再大的資源，我能達(dá)到的極限也就是這個(gè)曲線，因此所有制定超過這個(gè)極限曲線上數(shù)據(jù)點(diǎn)的增長(zhǎng)指標(biāo)想要依靠自然增長(zhǎng)（裂變式增長(zhǎng)）實(shí)現(xiàn)都是不可能的。

另：在實(shí)際商業(yè)案例中，最初的用戶往往不會(huì)是我們從1開始，讓他自然增長(zhǎng)，我們會(huì)準(zhǔn)確投放到一群我們認(rèn)為的目標(biāo)客戶聚集的地方，即這時(shí)其實(shí)不符合這個(gè)曲線，因此我們的經(jīng)典產(chǎn)品曲線是這樣的：

就好比一條小米新功能的推送，我們朋友圈轉(zhuǎn)發(fā)和到小米論壇發(fā)送一樣，到小米論壇發(fā)送是不符合自然增長(zhǎng)的，但是當(dāng)功能開始走出小米論壇，它就開始傳播，因此我們實(shí)際的曲線往往是從這里開始的：

極限有了，怎么才能預(yù)測(cè)我的產(chǎn)品下個(gè)階段的指標(biāo)數(shù)據(jù)呢？

我們沿著極限式的最終結(jié)論式繼續(xù)推導(dǎo)下去：

• 當(dāng)計(jì)量單位不是月的時(shí)候，該式同樣可以應(yīng)用，e倍速增長(zhǎng)是以一個(gè)計(jì)量單位為一個(gè)單位時(shí)間的，比如一年，一天，一秒均可以；只需要定義，一個(gè)階段是多少，比如我們可以定義“1秒=1”，也可以定義“一年=1”，也可以定義“一年=365”，x隨著這個(gè)階段時(shí)間定義而變化，“30/x”、“365/x”還是“1/x”，都可以自行定義。
• 我們做去極限的處理，即可以得到，下一階段的用戶數(shù)量為這個(gè)階段的：（x代表用戶進(jìn)入x天后才開始裂變）

• 如果總體所有用戶進(jìn)入后，用戶不是以100%增長(zhǎng)的（不是一個(gè)用戶拉取一個(gè)人），x天后增速為a%（即前文的rate），想知道30天后用戶體量變?yōu)檫@個(gè)階段的：

如果不是30天，將上一條的時(shí)間推廣結(jié)論也納入進(jìn)來，那么下一屆階段，用戶數(shù)量為：

SO，我們有了一個(gè)極限值——關(guān)于e的指數(shù)函數(shù)（決定增長(zhǎng)上限），我們有了一個(gè)正常范圍內(nèi)計(jì)算公式（預(yù)測(cè)下一階段會(huì)達(dá)到的數(shù)量），我們可以做到什么：

1.較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)某一指標(biāo)（商業(yè)體量，用戶數(shù)等）的增長(zhǎng)數(shù)，打破原有（“指標(biāo)=經(jīng)驗(yàn)之談+拍腦袋”的不合理預(yù)測(cè)方式）。

2.增長(zhǎng)極限為指數(shù)型增長(zhǎng)，因此即使投入再多資源也只是能讓“1→e”這個(gè)過程，甚至于很多產(chǎn)品本身可以達(dá)到“指數(shù)型”增長(zhǎng)。因此并不是投入更多就一定可以讓增長(zhǎng)更快，它存在一個(gè)極限。

3.指數(shù)型增長(zhǎng)底數(shù)為e是極限，但是一般公司都會(huì)投入資源給推廣和市場(chǎng)部門，因此流量必然不是所有的都是自然增長(zhǎng)，還存在因?yàn)槿藶橥茝V而促進(jìn)用戶了解愿意投入增長(zhǎng)和通過推廣強(qiáng)行讓用戶指標(biāo)短時(shí)間增長(zhǎng)的情況；我們可以通過一段時(shí)間內(nèi)增長(zhǎng)曲線觀察到的增長(zhǎng)來判斷，目前的投入是否是合理的，用戶是否真的是對(duì)產(chǎn)品認(rèn)可，還是僅因?yàn)槭袌?chǎng)投入才進(jìn)入，即如果增長(zhǎng)不能符合常規(guī)增長(zhǎng)數(shù)量預(yù)測(cè)值（每一個(gè)階段都偏低的話），我們可以說，這個(gè)產(chǎn)品是沒有用戶認(rèn)可度的，雖然現(xiàn)在仍在增長(zhǎng)，如果繼續(xù)下去，產(chǎn)品必將衰落崩潰（在“創(chuàng)新擴(kuò)散曲線”等理論決定的16%人群之前，在其他條件限制極限的條件之前，階段性成立，這個(gè)實(shí)例中會(huì)解釋）。

我們來用這兩個(gè)模型分析下具體案例。

增長(zhǎng)案例分析

完美的裂變式增長(zhǎng)案例——slack

Slack是一款云端團(tuán)隊(duì)協(xié)作軟件，它甚至沒有市場(chǎng)團(tuán)隊(duì)，只依靠口碑營(yíng)銷和品牌影響獲取用戶（近期slack才組建市場(chǎng)團(tuán)隊(duì)，為什么需要這么做？理由分析之后會(huì)解釋），也就是說是純粹的自然增長(zhǎng)。

上圖是slack的用戶數(shù)變化的曲線，我們嘗試從曲線上取下一段數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后自己分析下：

因?yàn)閳D線是基本符合e指數(shù)型增長(zhǎng)的，也即slack的用戶是在以近乎極限的增長(zhǎng)速度在增長(zhǎng)，因此我們只好用極限狀態(tài)式來分析它的增長(zhǎng)：

對(duì)比我們可以得到以下信息：

1.slack的增長(zhǎng)率為46.74%，即“裂變用戶百分比”*“每個(gè)人裂變用戶數(shù)”=46.74%，因此我們可以很容易的得到接下來一段時(shí)間slack的用戶數(shù)會(huì)是多少，比如我們可以計(jì)算，2015年2月（即自變量為10）的時(shí)候，用戶數(shù)會(huì)為532k，從圖上看，slack2015年2月用戶數(shù)約為520k，誤差率在2%，對(duì)于預(yù)測(cè)來說，這個(gè)誤差完全可以接收。

2.slack為什么是近乎指數(shù)增長(zhǎng)的？

因?yàn)樵谏蠄D分析中，我們選取的n參考維度（橫坐標(biāo)，也是之前所說的定義的“一個(gè)階段”）是月，每個(gè)slack用戶進(jìn)入后準(zhǔn)備邀請(qǐng)下一個(gè)用戶進(jìn)入，這個(gè)時(shí)間段x相對(duì)于一個(gè)月來說，是很小的一段時(shí)間，因此最終slack在這個(gè)維度下是以近乎指數(shù)型在增長(zhǎng)。

3.slack在以近似極限增長(zhǎng)速度增長(zhǎng)，這件事代表什么呢？

（2）slack產(chǎn)品足夠好，用戶認(rèn)可并愿意自發(fā)推廣（反之，若不為指數(shù)型增長(zhǎng)，實(shí)際上你的產(chǎn)品可能在很多用戶眼中是不認(rèn)可的，可能如果策略不變，你的產(chǎn)品危機(jī)就要來了，只是它還沒開始發(fā)生，就像08年美國(guó)的房地產(chǎn)證券）。

這一點(diǎn)上需要說明下，很多媒體口傳的指數(shù)型增長(zhǎng)，往往是投入很多資金人為驅(qū)動(dòng)的結(jié)果（甚至是暴力推廣的結(jié)果，這種情況你超過指數(shù)型我都信），因?yàn)樵鲩L(zhǎng)的極限是指數(shù)函數(shù)嘛，這類實(shí)際上如果在每個(gè)用戶上投入的資金減少，它就不再以指數(shù)增長(zhǎng)，并不是像slack這類無任何投入純依靠產(chǎn)品力量驅(qū)動(dòng)的增長(zhǎng)，它可以一直保持指數(shù)型。

當(dāng)然實(shí)際產(chǎn)品中，在每個(gè)用戶上穩(wěn)定投入，誘導(dǎo)用戶對(duì)產(chǎn)品產(chǎn)生信賴，然后進(jìn)行自然增長(zhǎng)（即我最開始定義的自然增長(zhǎng)的第二類）也是很好的加速增長(zhǎng)的方法，并且可持續(xù)。

（3）如果我們想要提高用戶增長(zhǎng)速度，我們投入資金實(shí)際上是在提高用戶裂變率和裂變量，即推動(dòng)更多老用戶推薦，推動(dòng)老用戶推動(dòng)更多的人；因?yàn)橐呀?jīng)達(dá)到極限增長(zhǎng)曲線，諸如拓展新用戶等舉措實(shí)際上并不能讓增長(zhǎng)速度更快，只是在提高增長(zhǎng)基數(shù)而已（可能反而因?yàn)闋I(yíng)銷反感，營(yíng)銷對(duì)象不符合目標(biāo)用戶畫像等原因，增速會(huì)變慢）。

4.如果我已經(jīng)是指數(shù)型增長(zhǎng)了，我想要投入資源加速這個(gè)自然增長(zhǎng)（依然是自然增長(zhǎng)，不是暴力推廣），最終實(shí)現(xiàn)如下圖的變化，我怎么評(píng)估我的投入產(chǎn)出比呢？是否存在一個(gè)最合理的投入呢？這個(gè)問題我們放到第二階段討論，因?yàn)檫@部分文主也還在摸索，希望你能與我一起探討。

5.指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)會(huì)持續(xù)不斷下去嗎？

當(dāng)然不是，從slack數(shù)據(jù)可看到，該表僅給出slack到50w用戶規(guī)模的曲線，它沒有出現(xiàn)其他趨勢(shì)僅僅是因?yàn)楫?dāng)前增長(zhǎng)還未達(dá)到出現(xiàn)變化的時(shí)間點(diǎn)，so，大眾產(chǎn)品的曲線拐點(diǎn)在哪？

產(chǎn)品增長(zhǎng)的拐點(diǎn)——姑且以網(wǎng)易云音樂舉例

這部分我想闡述下，對(duì)一般的增長(zhǎng)明星產(chǎn)品來說，這些明星產(chǎn)品未來的趨勢(shì)會(huì)是什么樣子的。（因?yàn)橘Y料所限，僅能以網(wǎng)易云音樂為例，如果你有合適的數(shù)據(jù)希望與我探討，那再好不過了）

一般從我們看到的新聞稿里，我們總結(jié)的網(wǎng)易云音樂的增長(zhǎng)是這樣的：

看起來就是一個(gè)像指數(shù)型增長(zhǎng)的產(chǎn)品對(duì)么，但是實(shí)際上產(chǎn)品不會(huì)是如上趨勢(shì)的增長(zhǎng)，根據(jù)網(wǎng)易自己發(fā)布的《網(wǎng)易云音樂2016上半年用戶行為大數(shù)據(jù)》，網(wǎng)易云音樂的用戶數(shù)量趨勢(shì)是這樣的：

雖然沒有求證過這個(gè)趨勢(shì)的真實(shí)性，我們姑且認(rèn)為這個(gè)趨勢(shì)是正確的并在這個(gè)基礎(chǔ)上分析，為什么網(wǎng)易云不是一路指數(shù)型增長(zhǎng)到2億，而是在5500萬用戶產(chǎn)生了拐點(diǎn)，為什么又在1億后恢復(fù)了增長(zhǎng)趨勢(shì)。（以下我僅分析對(duì)任何行業(yè)都通用的分析方式，對(duì)這個(gè)拐點(diǎn)產(chǎn)生作用的不同行業(yè)的不同特殊因素，我相信們讀者們更加了解）

傳播學(xué)教授埃弗雷德·羅杰斯在對(duì)超過508項(xiàng)擴(kuò)散研究進(jìn)行綜合研究之后，在他的著作《Duffision of Innovation》中提出了著名的“創(chuàng)新擴(kuò)散曲線”理論。羅杰斯用這個(gè)理論描述了個(gè)人和組織采用創(chuàng)新的過程。你可能在很多著名的演講中都曾在各種名人口中聽過這個(gè)理論，但是我姑且還是把它再展示給你：

藍(lán)色的線表示：在整個(gè)人群中，有2.5%的人被稱為創(chuàng)新者，他們是蘋果店一推出新機(jī)就去專賣店門口排隊(duì)一天一夜也要購(gòu)買的人（當(dāng)然現(xiàn)在他們不用這么做了）；13.5%的人被稱為早期采納者，他們可能是看到朋友圈第一類人曬的iphone新機(jī)，聽說不錯(cuò)，然后也去購(gòu)買；接下來68%的人是因?yàn)榍皟深惖穆绊懞褪袌?chǎng)變化，從眾進(jìn)入的人；最后的16%是落后者，他們是在觸屏機(jī)廣泛普及的時(shí)代依舊堅(jiān)持用按鍵機(jī)的人。（如果你從事的是與銷售強(qiáng)相關(guān)的行業(yè)，那么也可以關(guān)注下這里的黃線，它是市場(chǎng)份額的曲線，本文就不做過多敘述）

我們用這個(gè)理論來看看音樂這個(gè)行業(yè)，根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2010年人口普查的數(shù)據(jù)，16-44歲的人口數(shù)量在5.48億（當(dāng)然你可以覺得現(xiàn)在這個(gè)數(shù)據(jù)已經(jīng)變化了，這僅僅是一個(gè)舉例的估算，實(shí)際行業(yè)里，我們都會(huì)清楚自己的目標(biāo)用戶規(guī)模到底有多大）。

• 我假定5.48億這個(gè)數(shù)量是最終要達(dá)到的用戶規(guī)模；
• 根據(jù)城鄉(xiāng)人口普查，城鎮(zhèn)人口占57.35%，我認(rèn)為對(duì)一個(gè)新的音樂播放器產(chǎn)品，城鎮(zhèn)人口是首先接收的（假設(shè)這就是所謂的行業(yè)影響因素），我得到，城鎮(zhèn)人口約3.14億
• 用城鎮(zhèn)人口乘2.5%，得到785萬，這就是這個(gè)播放器要走向大眾產(chǎn)品，需要達(dá)到的基礎(chǔ)用戶量；乘16%（2.5%+13.5%），得到5000萬，這就是創(chuàng)新者和早期采納者的總數(shù)，即對(duì)應(yīng)網(wǎng)易云音樂圖上產(chǎn)生拐點(diǎn)的地方，因?yàn)檫@時(shí)產(chǎn)品已經(jīng)要進(jìn)入一個(gè)放緩增長(zhǎng)的過渡期，從吸引“喜歡新產(chǎn)品”的人過渡到吸引“從眾者”。

（4）那1億到2億的增長(zhǎng)是怎么出現(xiàn)的呢，我假設(shè)那一段也是如圖所示的指數(shù)型；其實(shí)這對(duì)應(yīng)主要是自然增長(zhǎng)的第二部分，每個(gè)用戶平均投入一定金額，促進(jìn)用戶自然增長(zhǎng)，可以看到這個(gè)時(shí)期網(wǎng)易云有很多舉動(dòng)，而結(jié)果就是在穩(wěn)定的促增長(zhǎng)策略下，用戶度過了過渡期之后，從眾者也因?yàn)橐龑?dǎo)而產(chǎn)生了自然增長(zhǎng)。

但是，如果我們更切合實(shí)際一些，產(chǎn)品生命周期里，每一個(gè)小階段，我們都必然產(chǎn)生一些大動(dòng)作，比如影響目標(biāo)用戶群數(shù)量的功能上線，知名媒體曝光，產(chǎn)品成功營(yíng)銷等動(dòng)作，我們有沒有辦法在這種情況下預(yù)測(cè)用戶數(shù)量呢？

階段性的指數(shù)增長(zhǎng)——以滴滴為例

如果我們只是一般的產(chǎn)品，不能純粹依靠第一類自然增長(zhǎng)，而且變化速度極快，會(huì)有很多大動(dòng)作影響到用戶增長(zhǎng)甚至目標(biāo)用戶群數(shù)量，這時(shí)對(duì)整個(gè)生命周期用一個(gè)函數(shù)預(yù)測(cè)指標(biāo)往往是不準(zhǔn)確的，以下以滴滴打車舉例：（這其實(shí)是滴滴下載量的數(shù)據(jù)，不是用戶量，所以并不準(zhǔn)確，但是拿來和你講清楚問題卻足夠了）

同理，我們對(duì)滴滴拿出一段數(shù)據(jù)做分析，因?yàn)橛^察增長(zhǎng)趨勢(shì)大致符合指數(shù)增長(zhǎng)極限，所以我依舊用極限式嘗試貼近滴滴打車的數(shù)據(jù)：

虛線是嘗試貼合的函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)誤差非常大，甚至趨勢(shì)都不同，我重新觀察了原數(shù)據(jù)圖，發(fā)現(xiàn)我取的數(shù)據(jù)段，滴滴都發(fā)生了大的版本迭代，沒有發(fā)生版本迭代的變化節(jié)點(diǎn)，查詢了下，結(jié)果是滴滴2014年12月7日宣布了7億美元的新融資。所以我先做了一個(gè)嘗試，我把變化節(jié)點(diǎn)之間的數(shù)據(jù)分別貼合了下：

這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)一件事，在一件大事發(fā)生之后，另一件大事發(fā)生之前的一段時(shí)間里，用戶仍然是呈穩(wěn)定的指數(shù)極限增長(zhǎng)的，只是每到一個(gè)大事發(fā)生的節(jié)點(diǎn)，這個(gè)增長(zhǎng)趨勢(shì)會(huì)被另一個(gè)新的指數(shù)極限增長(zhǎng)趨勢(shì)代替。

也就是說，在實(shí)際情況中，如果環(huán)境發(fā)生了改變，在下一次改變之前，我們認(rèn)為增長(zhǎng)是穩(wěn)定的（對(duì)健康的受到用戶認(rèn)可的產(chǎn)品來說），在這個(gè)范圍內(nèi)仍然可以用之前的一個(gè)極限式和一個(gè)正常增長(zhǎng)式來預(yù)測(cè)。

這個(gè)理論什么情況下會(huì)失效？

一切即將崩潰（用戶不認(rèn)可，增長(zhǎng)不是裂變式，而是依靠市場(chǎng)和推廣投入推動(dòng)），或者正在崩潰（每階段用戶都是凈流失）的產(chǎn)品該理論都會(huì)失效。當(dāng)然，從增長(zhǎng)趨勢(shì)上我們可以做出判斷，是否產(chǎn)品雖然正在增長(zhǎng)，但是繼續(xù)下去會(huì)出現(xiàn)崩潰，在之前的實(shí)例探討中已經(jīng)說明，因此不再贅述。

投入產(chǎn)出比的最合理值

我們知道，如果我們穩(wěn)定投入資源，可以通過促使自然增長(zhǎng)達(dá)到增長(zhǎng)極限；如果我們繼續(xù)投入資源，我們可以控制其他三個(gè)參變量，即縮短一個(gè)階段的時(shí)間、提高發(fā)生裂變的用戶的比率或者提高每個(gè)用戶能夠裂變的用戶數(shù)。（如下式，反映在n和a%會(huì)增大）

So，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間，通過改變指數(shù)引起的變化不是線性的，因此數(shù)學(xué)意義上是存在最合理的投入產(chǎn)出比的，接下來我將與你討論下這個(gè)沒有完成的部分。

數(shù)學(xué)意義上的極限在哪

再來看一下最初的增長(zhǎng)的分類：

這里我將第一類自發(fā)自然增長(zhǎng)的用戶總數(shù)假定為A，第一類和第二類促進(jìn)自然增長(zhǎng)的用戶總和假定為B，假設(shè)我們沒有暴力推廣帶來的增長(zhǎng)用戶（文主也強(qiáng)烈不推薦引入此類用戶）。這時(shí)，我認(rèn)為”B-A”即是由投入帶來的用戶增長(zhǎng)部分，我將所有的資源投入換算為資金，為C。

投入產(chǎn)出比=C/（B-A）

所以我們帶入B和A，可以得到如下結(jié)果：

顯然這個(gè)值太大了，世界上沒有任何一個(gè)經(jīng)濟(jì)體能夠達(dá)到C/(e-1)這個(gè)投入規(guī)模，因此這個(gè)數(shù)學(xué)上的極限其實(shí)是不可用的。

從實(shí)際出發(fā)呢？

雖然以上推論是錯(cuò)誤的，但是思路卻沒錯(cuò)。同時(shí)我發(fā)現(xiàn)，我可以用我現(xiàn)有的“用戶規(guī)模（x）”*“平均每個(gè)用戶投入資金（c）”來代替投入，但是用戶增長(zhǎng)也與用戶規(guī)模有關(guān)，因此我可以得到以下式子：

假設(shè)這里的場(chǎng)景為朋友圈轉(zhuǎn)發(fā)帶來自然增長(zhǎng)，這里的f（x）=a*b*c*x（a為平均每個(gè)用戶能夠轉(zhuǎn)化進(jìn)入的用戶數(shù)，b是轉(zhuǎn)發(fā)率，c為留存率），然后可以求得最大值。然而這個(gè)式子僅限于求解轉(zhuǎn)發(fā)渠道的最優(yōu)投入產(chǎn)出，而且是否可用也存疑，因此投入產(chǎn)出比部分期待與你的深一步討論。

總結(jié)

因?yàn)楸疚哪康母嘞Ｍc人探討理論，因此將文主整個(gè)推導(dǎo)過程敘述了下，為了方便應(yīng)用，這里提煉出本文真正應(yīng)用預(yù)測(cè)指標(biāo)的兩個(gè)式子（當(dāng)然對(duì)趨勢(shì)曲線的理解需要你到文章去找了）：

極限狀態(tài)下的增長(zhǎng)式：（等式右側(cè)）

正常情況下，預(yù)測(cè)下一個(gè)階段用戶（指標(biāo)規(guī)模/經(jīng)濟(jì)）數(shù)的式子：（注意，該式僅用于計(jì)算每一個(gè)點(diǎn)的數(shù)值，而不代表一個(gè)整個(gè)增長(zhǎng)的趨勢(shì)函數(shù)）

當(dāng)然，本文所述的任何趨勢(shì)僅是邏輯上成立，實(shí)際情況無論在任何階段，只要投入資金推動(dòng)暴力增長(zhǎng)出現(xiàn)或者讓產(chǎn)品走向流失（崩潰）的趨勢(shì)，趨勢(shì)都是可以被任意更改的。

然而我只是想告訴你，自然增長(zhǎng)的趨勢(shì)是什么，順應(yīng)自然增長(zhǎng)階段投入資源才能拿到最大的回報(bào)，投入產(chǎn)出才會(huì)最高，在不同階段都制定一樣的增長(zhǎng)指標(biāo)，結(jié)果就是在達(dá)到16%后的增長(zhǎng)變得異常艱難，必須投入越來越多的資金才能保持增長(zhǎng)，但是留存卻并不很好看。

因?yàn)槠鋵?shí)將一群“后期從眾者”強(qiáng)行拉到“創(chuàng)新者”的地位上，從人性來看，需要這個(gè)人做出反性格的事，這必然是很難得，即使短期維持住指數(shù)增長(zhǎng)，它其實(shí)是得不償失的。

期待你與我討論

由于資料所限，文主的邏輯上的正確結(jié)論未必是實(shí)際正確的，如果你有合適的數(shù)據(jù)想與文主探討，或者對(duì)文中的理論有疑義和自己的解釋，那就太好了，文主萬分歡迎你與我一起探討完善這個(gè)理論，文主寫這篇文章的目的也就達(dá)到了。

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