大學時，我一直覺得統(tǒng)計學很難，還差點掛科。

工作以后才發(fā)現(xiàn)，難的不是統(tǒng)計學，而是我們的教材寫得不好。比起高等數(shù)學，統(tǒng)計概念其實容易理解多了。

我舉一個例子，什么是泊松分布和指數(shù)分布？恐怕大多數(shù)人都說不清楚。

我可以在10分鐘內(nèi)，讓你毫不費力地理解這兩個概念。

一、泊松分布

日常生活中，大量事件是有固定頻率的。

• 某醫(yī)院平均每小時出生3個嬰兒
• 某公司平均每10分鐘接到1個電話
• 某超市平均每天銷售4包xx牌奶粉
• 某網(wǎng)站平均每分鐘有2次訪問

它們的特點就是，我們可以預(yù)估這些事件的總數(shù)，但是沒法知道具體的發(fā)生時間。已知平均每小時出生3個嬰兒，請問下一個小時，會出生幾個？

有可能一下子出生6個，也有可能一個都不出生。這是我們沒法知道的。

泊松分布就是描述某段時間內(nèi)，事件具體的發(fā)生概率。

上面就是泊松分布的公式。等號的左邊，P 表示概率，N表示某種函數(shù)關(guān)系，t 表示時間，n 表示數(shù)量，1小時內(nèi)出生3個嬰兒的概率，就表示為 P(N(1) = 3) 。等號的右邊，λ 表示事件的頻率。

接下來兩個小時，一個嬰兒都不出生的概率是0.25%，基本不可能發(fā)生。

接下來一個小時，至少出生兩個嬰兒的概率是80%。

泊松分布的圖形大概是下面的樣子。

可以看到，在頻率附近，事件的發(fā)生概率最高，然后向兩邊對稱下降，即變得越大和越小都不太可能。每小時出生3個嬰兒，這是最可能的結(jié)果，出生得越多或越少，就越不可能。

二、指數(shù)分布

指數(shù)分布是事件的時間間隔的概率。下面這些都屬于指數(shù)分布。

• 嬰兒出生的時間間隔
• 來電的時間間隔
• 奶粉銷售的時間間隔
• 網(wǎng)站訪問的時間間隔

指數(shù)分布的公式可以從泊松分布推斷出來。如果下一個嬰兒要間隔時間 t ，就等同于 t 之內(nèi)沒有任何嬰兒出生。

反過來，事件在時間 t 之內(nèi)發(fā)生的概率，就是1減去上面的值。

接下來15分鐘，會有嬰兒出生的概率是52.76%。

接下來的15分鐘到30分鐘，會有嬰兒出生的概率是24.92%。

指數(shù)分布的圖形大概是下面的樣子。

可以看到，隨著間隔時間變長，事件的發(fā)生概率急劇下降，呈指數(shù)式衰減。想一想，如果每小時平均出生3個嬰兒，上面已經(jīng)算過了，下一個嬰兒間隔2小時才出生的概率是0.25%，那么間隔3小時、間隔4小時的概率，是不是更接近于0？

三、總結(jié)

一句話總結(jié)：泊松分布是單位時間內(nèi)獨立事件發(fā)生次數(shù)的概率分布，指數(shù)分布是獨立事件的時間間隔的概率分布。

請注意是”獨立事件”，泊松分布和指數(shù)分布的前提是，事件之間不能有關(guān)聯(lián)，否則就不能運用上面的公式。

[說明] 本文受到?nbviewer 文檔的啟發(fā)。

作者：阮一峰

原文地址：http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html