編輯導(dǎo)語：機(jī)器學(xué)習(xí)是策略產(chǎn)品經(jīng)理需要了解的一個(gè)方面，而梯度下降法則是學(xué)習(xí)機(jī)器學(xué)習(xí)必須了解的思想，本文作者通過一個(gè)案例介紹了梯度下降法，一起來看一下吧。

策略產(chǎn)品經(jīng)理必須要對機(jī)器學(xué)習(xí)有一定的了解，而梯度下降法則是學(xué)習(xí)機(jī)器學(xué)習(xí)必須要了解的思想，本篇通過一個(gè)生動的案例來為大家介紹到底什么是梯度下降法。

01 引入

我們先從一個(gè)案例入手，下圖是一組上海市靜安區(qū)的房價(jià)信息：

我們用Python在坐標(biāo)系上面畫出來如下圖：

我們現(xiàn)在想擬合一個(gè)線性函數(shù)來表示房屋面積和房價(jià)的關(guān)系。我們初中都學(xué)過的一元一次函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b（k≠0）。很明顯不可能有一對組合（k,b）全部經(jīng)過上圖7個(gè)點(diǎn)，我們只能盡可能地找到一對組合，使得該線性函數(shù)離上圖7個(gè)點(diǎn)的總距離最近。

如上圖所示，實(shí)際值與預(yù)測值之間差異的均方差我們把它稱為損失函數(shù)，也有叫做成本函數(shù)或者代價(jià)函數(shù)的，意義都一樣。我們希望找到一個(gè)組合（k，b）可以使得損失函數(shù)的值最小。

上述只有一個(gè)輸入變量x，如果我們多加入幾個(gè)輸入變量，比如臥室的數(shù)量、離最近地鐵站的距離。最終目標(biāo)變量和損失函數(shù)我們用下述函數(shù)表達(dá)式來表達(dá)：

現(xiàn)在我們的任務(wù)就是求出一組θ，在已知【x，y】的前提下使得損失函數(shù)的值最小。那么如何計(jì)算出θ了，使用什么方法了？我們首先回到損失函數(shù)表達(dá)式本身，損失函數(shù)本身是一個(gè)y=x^2的形式，高中數(shù)學(xué)大家應(yīng)該都學(xué)過這是一個(gè)開口向上的拋物線方程，大概長下圖這樣：

我們?nèi)绾握业竭@個(gè)函數(shù)的最低點(diǎn)？上圖是一個(gè)二維圖，我們很輕松就可以肉眼看出x=0時(shí)，y最小。如果維度更多，比如z = (x-10)^2 + (y-10)^2，則得到下圖：

我們?nèi)绾味ㄎ怀鲎钚≈?，特別強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，這里的x是一個(gè)“大”參數(shù)的概念，x應(yīng)該等于下述公式

大家要明確上圖橫坐標(biāo)是x和y，函數(shù)表達(dá)式里的θ已經(jīng)知道了，所以我們是找到最合適的（x,y）使得函數(shù)值最小。如果我們現(xiàn)在是已知樣本（x,y），那么上圖的變量就變?yōu)榱甩萠0和θ_i，并不是x_i，我們是以θ_0和θ_i作為輸入變量做的圖，x_i和y_i都是已知的固定值，這一點(diǎn)必須明確了。上圖的縱坐標(biāo)的值就變?yōu)閾p失函數(shù)的值。

我們的問題是已知樣本的坐標(biāo)（x,y），來求解一組θ參數(shù)，使得損失函數(shù)的值最小。我們?nèi)绾握业缴蠄D中的最低點(diǎn)？因?yàn)檎业阶畹忘c(diǎn)，那么最低點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)所有維度就是我們想得到的θ_0和θ_i，而縱坐標(biāo)就是損失函數(shù)的最小值。找到最低點(diǎn)所有答案就全部解出來了。

現(xiàn)在問題來了？有沒有一種算法讓我們可以慢慢定位出最小值，這個(gè)算法就是梯度下降法。

02 梯度下降法簡介

1. 梯度下降法的思想

我們首先介紹梯度下降法的整體思想。假設(shè)你現(xiàn)在站在某個(gè)山峰的峰頂，你要在天黑前到達(dá)山峰的最低點(diǎn)，那里有食品水源供給站，可以進(jìn)行能量補(bǔ)充。你不需要考慮下山的安全性，即使選擇最陡峭的懸崖下山，你也可以全身而退，那么如何下山最快了？

最快的方法就是以當(dāng)前的位置為基準(zhǔn)，尋找該位置最陡峭的地方，然后沿該方向往下走。走一段距離后，再以當(dāng)前位置為基準(zhǔn)，重新尋找最陡峭的地方，一直重復(fù)最終我們就可以到達(dá)最低點(diǎn)。我們需要不停地去重新定位最陡峭的地方，這樣才不會限于局部最優(yōu)。

那么整個(gè)下山過程中我們會面臨兩個(gè)問題：

1. 如何測量山峰的“陡峭”程度
2. 每一次走多長距離后重新進(jìn)行陡峭程度測量；走太長，那么整體的測量次數(shù)就會比較少，可能會導(dǎo)致走的并不是最佳路線，錯(cuò)過了最低點(diǎn)。走太短，測量次數(shù)過于頻繁，整體耗時(shí)太長，還沒有到達(dá)食品供給站就已經(jīng)GG了。這里的步長如何設(shè)置？

Part1里面介紹了如何從一個(gè)開口向上的拋物線高點(diǎn)定位到最低點(diǎn)的問題和下山的場景是完全類似的，拋物線就相當(dāng)于一個(gè)山峰，我們的目標(biāo)就是找到拋物線的最低點(diǎn)，也就是山底。

最快的下山方式就是找到當(dāng)前位置最陡峭的方向，然后沿著此方向向下走，對應(yīng)到拋物線中，就是計(jì)算給定點(diǎn)的梯度，然后朝著梯度相反的方向（ Part 2.3里面會解釋為什么是朝著梯度相反的方向），就能讓拋物線值下降的最快。同時(shí)我們也要和下山一樣，不停地定位新位置，再計(jì)算新位置的梯度，然后按照新方向下降，最后慢慢定位到拋物線的最低點(diǎn)。

2. 梯度下降法算法

Part2.1里面已經(jīng)介紹了梯度下降法的思想，遺留了兩個(gè)問題。第一就是如何計(jì)算“陡峭”程度，我們這里把它叫做梯度，我們用?J_θ來代替。第二個(gè)也就是步長問題，我們用一個(gè)α學(xué)習(xí)率來代表這個(gè)步長，α越大代表步長越大。知道了這兩個(gè)值，我們?nèi)绾稳サ玫溅葏?shù)的更新表達(dá)式了？

J是關(guān)于θ的一個(gè)函數(shù)，假設(shè)初始時(shí)我們在θ_1這個(gè)位置，要從這個(gè)點(diǎn)走到J的最小值點(diǎn)，也就是山底。首先我們先確定前進(jìn)的方向，也就是梯度的反向“-?J_θ”，然后走一段距離的步長，也就是α，走完這個(gè)段步長，就到達(dá)了θ_2這個(gè)點(diǎn)了。表達(dá)式如下圖：

我們按照上述表達(dá)式一直不停地更新θ的值，一直到θ收斂不變?yōu)橹?，?dāng)我們到達(dá)山底，此時(shí)函數(shù)的梯度就是0了，θ值也就不會再更新了，因?yàn)楸磉_(dá)式的后半部分一直是0了。

整個(gè)下降過程中損失函數(shù)的值是一定在減少，但是我們想學(xué)習(xí)出來的參數(shù)值θ不一定一直在減小。因?yàn)槲覀冃枰业綋p失函數(shù)最小時(shí)的坐標(biāo)點(diǎn)，這個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)不一定是原點(diǎn)，很可能是（2，3）甚至是（4，6），我們找到的是最合適的θ值使得損失函數(shù)最小。下圖我們用一個(gè)例子來進(jìn)行說明：

上圖的最低點(diǎn)很明顯就是原點(diǎn)，我們通過梯度下降法來逼近這個(gè)最低點(diǎn)。我們可以看到損失函數(shù)的值在一直減少，θ的值也在往0這個(gè)值進(jìn)行收斂。

3. 梯度下降法數(shù)學(xué)計(jì)算

Part1和2介紹了梯度下降的思想和θ更新的表達(dá)式，現(xiàn)在我們從數(shù)學(xué)層面進(jìn)行解釋：

1）為什么是向梯度相反的方向下降

上圖應(yīng)該很形象地顯示為什么要朝著梯度的反方向了。梯度是一個(gè)向量，梯度的方向是函數(shù)在指定點(diǎn)上升最快的方向，那么梯度的反方向自然是下降最快的方向了。

2）泛化的θ參數(shù)更新公式

Part2.2里面的例子我們選擇的是一個(gè)最簡單的函數(shù)表達(dá)式，θ參數(shù)分為兩種，一種是和輸入變量x配對的參數(shù)θ_i，一種是固定的偏差θ_0。我們用已知的樣本數(shù)據(jù)（x,y）來求解出使得損失函數(shù)最小的一組θ參數(shù)。下面我們來計(jì)算一個(gè)通用泛化的θ參數(shù)更新表達(dá)式。我們只需要用到高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識即可，朋友們相信我真的很easy。

下圖是對和輸入變量x配對的參數(shù)θ_i更新表達(dá)式：

下圖是對固定的偏差θ_0的更新表達(dá)式：

上面的數(shù)學(xué)過程也就是高中我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)里面最簡單的求導(dǎo)過程了。那么至此我們也就將梯度下降算法的思想和數(shù)學(xué)解釋全部介紹完了。

4. 梯度下降法分類

Part2.3里面的公式大家也看到了我們要借助樣本的（x，y）的數(shù)據(jù)來進(jìn)行參數(shù)θ的更新，如果現(xiàn)在樣本有100條數(shù)據(jù)，我們?nèi)绾蝸砀隆ＵＧ闆r下，我們更新的方式有兩種：

1）隨機(jī)梯度下降(Stochastic Gradient Descent)

我們每次只使用單個(gè)訓(xùn)練樣本來更新θ參數(shù)，依次遍歷訓(xùn)練集，而不是一次更新中考慮所有的樣本。就像開頭介紹那7條房價(jià)數(shù)據(jù)，我們一個(gè)一個(gè)來計(jì)算，計(jì)算一次更新一次θ，直到θ收斂或者達(dá)到后期更新幅度已經(jīng)小于我們設(shè)置的閥值。

2）批量梯度下降(Batch Gradient Descent)

我們每次更新都遍歷訓(xùn)練集中所有的樣本，以它們的預(yù)測誤差之和為依據(jù)更新。我們會一次性將7條樣本數(shù)據(jù)的預(yù)測誤差都匯總，然后進(jìn)行一次更新。更新完以后，繼續(xù)以7條樣本數(shù)據(jù)的預(yù)測誤差之和進(jìn)行匯總，再更新，直到θ收斂或者達(dá)到后期更新幅度已經(jīng)小于我們設(shè)置的閥值。

當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)很大時(shí)，批量梯度下降的每次更新都會是計(jì)算量很大的操作，而隨機(jī)梯度下降可以利用單個(gè)訓(xùn)練樣本立即更新，因此隨機(jī)梯度下降 通常是一個(gè)更快的方法。但隨機(jī)梯度下降也有一個(gè)缺點(diǎn)，那就是θ可能不會收斂，而是在最小值附近振蕩，但在實(shí)際中也都會得到一個(gè)足夠好的近似。

所以實(shí)際情況下，我們一般不用固定的學(xué)習(xí)率，而是讓它隨著算法的運(yùn)行逐漸減小到零，也就是在接近“山底”的時(shí)候慢慢減小下降的“步幅”，換成用“小碎步”走，這樣它就更容易收斂于全局最小值而不是圍繞它振蕩了。

03 梯度下降法Python實(shí)踐

以下就是通過實(shí)際運(yùn)行程序得到的相關(guān)結(jié)果圖。

1. 單變量：y = x^2求最低點(diǎn)

假設(shè)X的初始值是10，我們讓程序迭代10次得到的結(jié)果如下圖：

2. 多變量：z = (x-10)^2 + (y-10)^2求最低點(diǎn)

假設(shè)X和Y的初始值都是20，我們讓模型迭代100次得到的效果如下圖：

3. 根據(jù)給定樣本求解出最佳θ組合

假設(shè)樣本中X和Y的值如下：

x = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]

y = [3,4,5,5,2,4,7,8,11,8,10,11,13,13,16,17,16,17,18,20]

我們希望找到一組參數(shù)θ_0和θ_1來擬合一個(gè)X和Y之間的最優(yōu)線性模型，最終擬合結(jié)果如下：

本篇文章前半部分通俗易懂地將整個(gè)梯度下降算法全面地講解了一遍，后半部分通過Python實(shí)際落地了各種案例，希望看完后大家對于梯度下降法有一個(gè)全面且具象的了解。