數(shù)學(xué)歸納法只有簡單的三個(gè)步驟，但它是一種強(qiáng)大的邏輯推理工具，能幫助我們更加科學(xué)地證明一個(gè)命題。

有「數(shù)學(xué)王子」之稱的數(shù)學(xué)家高斯，從小就展現(xiàn)出非凡的數(shù)學(xué)天賦。

據(jù)說高斯在 8 歲的時(shí)候，老師出了一道題目：從 1 加到 100 的總和是多少？

老師本想用這道題，讓全班的同學(xué)安靜一節(jié)課的時(shí)間，卻沒想到高斯只用了不到 2 分鐘的時(shí)間，就說出了答案：5050。

如果你學(xué)過數(shù)學(xué)歸納法，就會(huì)明白只要方法運(yùn)用得當(dāng)，其實(shí)類似上面這樣的題目并不難。

下面介紹 100 種分析思維模型的第 99 種：數(shù)學(xué)歸納法，它是一種強(qiáng)大的邏輯推理工具，能幫助我們更加科學(xué)地證明一個(gè)命題。

1. 為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法？

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法具有重要意義，主要原因包括：

① 證明結(jié)論：通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，我們可以學(xué)會(huì)如何用數(shù)學(xué)的方法來證明結(jié)論，保障結(jié)論的正確性。

② 培養(yǎng)思維：數(shù)學(xué)歸納法要求我們按照一定的邏輯順序進(jìn)行推理和證明，因此可以培養(yǎng)和提升我們的邏輯思維能力。

③ 解決問題：數(shù)學(xué)歸納法不僅被廣泛用于解決數(shù)學(xué)問題，而且被廣泛用于解決各種計(jì)算機(jī)科學(xué)的問題，因?yàn)樵S多算法都涉及循環(huán)和遞歸的策略。

2. 什么是數(shù)學(xué)歸納法？

數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明的邏輯推理方法，它包括 3 個(gè)步驟：奠基、遞推、結(jié)論。

① 奠基：證明當(dāng) n 取某個(gè)初始值（通常是 0 或 1）時(shí)命題成立。

② 遞推：假設(shè)當(dāng) n = k 時(shí)命題成立，證明 n = k + 1 時(shí)命題也成立。

③ 結(jié)論：命題對所有自然數(shù) n 都成立。

例如，要證明：1 + 2 + 3 + …… + n = n * (n + 1)/2，采用數(shù)學(xué)歸納法的步驟如下：

① 奠基：當(dāng) n = 1 時(shí)，1 = 1 * (1 + 1)/2，等式成立。

② 遞推：假設(shè)當(dāng) n = k 時(shí)等式成立，即：1 + 2 + 3 + …… + k = k * (k + 1)/2則當(dāng) n = k + 1 時(shí)，有：1 + 2 + 3 + …… + k + (k + 1) = k *(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1) * (k + 2)/2也就是說，此時(shí)等式也成立。

③ 結(jié)論：上面的等式對所有大于或等于 1 的自然數(shù)都成立。

注意：數(shù)據(jù)歸納法的前 2 個(gè)步驟，也就是「奠基」和「遞推」，二者缺一不可，否則就無法得出可靠的「結(jié)論」。

數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)上屬于演繹推理，而不是歸納總結(jié)，因?yàn)闅w納總結(jié)通常無法排除某些例外情況，而數(shù)學(xué)歸納法則可以做到完全沒有例外發(fā)生。

比如，小明家里養(yǎng)過 2 只狗，這 2 只狗恰好都很溫順，于是他便認(rèn)為所有的狗都很溫順。直到他遇到一只兇狠的狗，甚至被咬傷之后，他才發(fā)現(xiàn)自己原來的想法不對。

很顯然，他原來的歸納推理太過草率，在得到結(jié)論之前，沒有考慮到可能存在的例外情況。

3. 怎么運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法？

在日常工作和生活中，我們也可以嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法。

比如，假設(shè)有一個(gè)不透明的袋子，我們要證明其中裝的全部都是大米。按照一般的歸納法，如果從袋子中摸出來的第 1 粒是大米，第 2 粒是大米，甚至第 3、4、5 …… 100 粒都是大米，此時(shí)我們就會(huì)猜想：袋子中的東西，是不是全部都是大米？

要檢驗(yàn)這個(gè)猜想是否正確，通常要把袋里的東西全部摸出來，才能真相大白。但是，假設(shè)大米多到一個(gè)人數(shù)不過來，此時(shí)不放先把大米分成 n 個(gè)小袋，讓 n 個(gè)人分別去確認(rèn)每個(gè)小袋中是否全部都是大米，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法。

① 奠基：第 1 個(gè)小袋全都是大米；

② 遞推：假設(shè)第 k 個(gè)小袋全都是大米，推導(dǎo)出第 k + 1 個(gè)小袋也都是大米。

③ 結(jié)論：袋子中裝的全都是大米。

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，就像是玩多米諾骨牌，你想要讓最后一塊骨牌倒下，但現(xiàn)在動(dòng)不了它，不過沒關(guān)系，你只要一點(diǎn)一點(diǎn)地往前找，找出第一塊骨牌，把它推倒，后面的就會(huì)跟著倒下來。

假設(shè)你負(fù)責(zé)一個(gè)大型項(xiàng)目，其中包含多個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都必須在前一個(gè)任務(wù)完成之后才能開始，此時(shí)也可以運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法。

① 奠基：從第一個(gè)小任務(wù)開始，比如做一份項(xiàng)目計(jì)劃書的草稿；

② 遞推：假設(shè)完成第 k 個(gè)任務(wù)，推導(dǎo)出第 k + 1 個(gè)任務(wù)也能完成。比如把目標(biāo)分解下去，確保每個(gè)人都能按期完成目標(biāo)之后，項(xiàng)目的整體目標(biāo)也能完成。

③ 結(jié)論：項(xiàng)目將會(huì)按期完成。

需要注意的是，上面這個(gè)例子其實(shí)并不是嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)證明，而是為了體現(xiàn)一種邏輯推理的過程，幫助你更好地理解數(shù)學(xué)歸納法的思想。

在實(shí)際工作和生活中，我們無法僅用數(shù)學(xué)歸納法來證明項(xiàng)目必將大獲成功，也無法僅用數(shù)學(xué)歸納法來證明一個(gè)袋子中裝的全部都是大米，但是我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的思考模式來分析問題，從而提升我們的邏輯思維和解決問題的能力。

最后的話

對于數(shù)學(xué)歸納法，很多人通常會(huì)把注意力放在第 ② 步：遞推，卻很容易忽略第 ① 步：奠基，最后導(dǎo)致白忙一場。

就像很多人在考慮問題的時(shí)候，往往只盯著下一步，卻忘記了出發(fā)的初衷，結(jié)果發(fā)現(xiàn)一開始就走錯(cuò)了方向，導(dǎo)致浪費(fèi)了很多時(shí)間。

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法思考問題的方式，不僅能提升我們的邏輯思維能力，而且能讓我們行動(dòng)的方向與目標(biāo)保持一致，盡量少走一點(diǎn)彎路。

延伸學(xué)習(xí)：

《數(shù)學(xué)歸納法》（華羅庚，2002 年）

《邏輯思維訓(xùn)練 50 講》（吳軍，2024 年）