本文將探討如何運(yùn)用蒙特卡洛模擬方法來解決類似“集五福”活動(dòng)中的復(fù)雜概率問題，確保活動(dòng)的趣味性同時(shí)控制成本，提升用戶體驗(yàn)和轉(zhuǎn)化率。

一、應(yīng)用場景

支付寶“集五福”已經(jīng)成為了每年春節(jié)的必備活動(dòng)，越來越多的人開始習(xí)慣在互聯(lián)網(wǎng)上參與各種活動(dòng)。

尤其是在節(jié)假日期間，人們更加渴望有一種可以在線上參與的娛樂方式，通過游戲方式為客戶帶來更多的樂趣和懸念。業(yè)務(wù)精心策劃了節(jié)假日福卡抽獎(jiǎng)活動(dòng)（集燈籠、領(lǐng)月餅），客戶通過做任務(wù)贏取?？?，集齊2種以上?？ê缶陀袡C(jī)會(huì)抽取折扣券、免單券和禮品。

既要保證用戶能通過抽獎(jiǎng)獲取折扣券促使下單轉(zhuǎn)化提升，同時(shí)也要控制免單券、折扣券的中獎(jiǎng)概率來控制活動(dòng)成本。因此在活動(dòng)前期，測算好集齊N種卡的期望值是個(gè)迫在眉睫需要解決的問題。

二、解決方案

集齊1-N種福卡用戶需要做多少次任務(wù)以及初始每種類型月餅概率設(shè)置是否能滿足活動(dòng)成本控制以及用戶體驗(yàn)及下單轉(zhuǎn)化目的？

在開始階段，我們基于傳統(tǒng)的排列組合統(tǒng)計(jì)方法在測算，由于每種?？ǖ闹歇?jiǎng)概率不同，算到集齊4種?？ㄒ呀?jīng)非常麻煩，存在大量計(jì)算工作，更不用說后面集齊5種，6種不同概率?？y算。

于是我們開始探索是否有新的方法用于這種場景測算。

1. 蒙特卡洛模擬概述

蒙特卡洛法也稱統(tǒng)計(jì)模擬法、統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法，是把概率現(xiàn)象作為研究對象的數(shù)值模擬方法，是按抽樣調(diào)查法求取統(tǒng)計(jì)值推定未知特性量的計(jì)算方法。

該方法通過構(gòu)造一個(gè)和系統(tǒng)相似的概率模型，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)來模擬系統(tǒng)的隨機(jī)特性，故適用于對離散系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，它是用抽樣后的樣本發(fā)生的頻率來估計(jì)概率，所以它求得的是近似解，而不是精確解，隨著樣本數(shù)的增多，近似解將越接近精確解。

2. 基于蒙特卡洛模擬的解題思路

蒙特卡洛算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

• 定義問題：首先需要明確問題的數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，以及待求解的變量或參數(shù)。
• 隨機(jī)采樣：生成隨機(jī)樣本，一般是均勻分布或正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，根據(jù)采樣規(guī)則，將隨機(jī)數(shù)映射到問題的定義域內(nèi)，得到一組采樣點(diǎn)。
• 模擬計(jì)算：將采樣點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)中，得到目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)值的大小關(guān)系，統(tǒng)計(jì)滿足條件的樣本數(shù)目，得到目標(biāo)函數(shù)在采樣區(qū)域內(nèi)的估計(jì)值。
• 統(tǒng)計(jì)分析：根據(jù)大數(shù)定律和中心極限定理，利用采樣得到的數(shù)據(jù)，計(jì)算問題的期望值、方差、置信區(qū)間等統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的分析和推斷。

通常蒙特卡羅方法可以大致分成兩類:一種類型是所求解的問題本身具有內(nèi)在的隨機(jī)性，借助計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力可以直接模擬這種隨機(jī)的過程。另一種類型是所求解問題可以轉(zhuǎn)化為某種隨機(jī)分布的特征數(shù)。

在本文中我們抽福卡概率測算問題屬于前一種類型，即利用計(jì)算機(jī)生成大量隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬計(jì)算。

三、應(yīng)用案例

以中秋集燈籠活動(dòng)為例，用戶可以通過逛游園會(huì)、做基礎(chǔ)任務(wù)（如開通親情卡、寄快遞等）獲取1-3個(gè)月餅，其中燈籠的類型有紅燈籠、綠燈籠、黃燈籠、藍(lán)燈籠、紫燈籠。

集齊3種類型以上燈籠即可參與抽獎(jiǎng)。 為增加活動(dòng)的趣味性，各種類型的燈籠會(huì)設(shè)置不同概率，特定類型月餅會(huì)設(shè)定為稀有品種，抽獎(jiǎng)概率相對會(huì)小很多。

使用基于蒙特卡洛仿真模擬的方法，借用計(jì)算機(jī)的算力去求解所需的答案，求解模擬用戶抽獎(jiǎng)達(dá)到“集齊”的條件。如下將以一次虛擬的“集燈籠”活動(dòng)為例，給出主要的求解Python代碼和運(yùn)行結(jié)果。

從運(yùn)行結(jié)果可以看出，一名用戶集齊1-5種燈籠需要的抽獎(jiǎng)次數(shù)，同時(shí)我們也可以擴(kuò)展到6種、7種、8種及以上?？焖贉y算集齊各種燈籠所需要的次數(shù)，對業(yè)務(wù)同學(xué)設(shè)置活動(dòng)任務(wù)數(shù)（通過做任務(wù)獲取?？ǎ⒃u估活動(dòng)成本能起到不可或缺的指導(dǎo)作用。